家庭教師【津野】
福島県郡山市の東大卒家庭教師

東京大学入試2020年文系数学

第1問

\(f(x) = x^3 – 3ax^2 +b\)とする。

条件1について

\(f'(x)=3x^2 – 6ax = 3x(x-2a)\)となる。

\(2a>0\)であるから、\(f(x)\)の増減表は、以下のようになる。

\(x\)\(0\)\(2a\)
\(f'(x)\)+00+
\(f(x)\)\(b\)\(b-4a^3\)

\(b>0\)であるから、条件1は、\(b-4a^3=0\)と同値である。

したがって、\(f(x)=x^3 – 3ax^2 +4a^3=(x+a)(x-2a)^2\)となる。

条件2について

\(-a < x < 2a\)における\(f(x)\)の最大値は、上の増減表から、\(f(0)=4a^3\)である。したがって、条件2のためには、\(1< 4a^3 \leqq 2\)が必要となる。つまり、\(\displaystyle \left(\frac{1}{4} \right)^\frac{1}{3} < a \leqq \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{3}\)が必要となる。

逆に、このとき、\(f(-1)=4a^3-3a-1=(a-1)(2a+1)^2 <0\)である。また、\(\displaystyle f(1)=4a^3-3a+1=4a \left(a^2- \frac{3}{4} \right)+1<1\)である。

したがって、条件2は、\(\displaystyle \left(\frac{1}{4} \right)^\frac{1}{3} < a \leqq \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{3}\)と同値である。

以上より、\(b=4a^3\)、\(\displaystyle \left(\frac{1}{4} \right)^\frac{1}{3} < a \leqq \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{3}\)となればよい。

第2問

(1)